calculo-larsson-8-edicion
1.- y = -1/2x + 2 => b);
2.- y = √(9 - x^2) => d);
3.- y = 4 - x^2 => a);
4.- y = x^3 - x => c);
5.- y = 3/2 x +1
15.- tiene 3 intersecciones en (-1, 0), (0, 4), (2, 0), tiende a menos infinito en (-∞, -1), tiende a infinito en (2, ∞).
16.- tiene 3 intersecciones de (-∞, 10), (10, 10), (10, ∞);
17.- a) (2, 1.5), b) (0, 3);
18.- a) (-0.5, 2.5), b) (1, -4);
19.-
intersecciones en (-2, 0), (0, -2), (1, 0);
20.-
intersecciones en (-∞, -2), (-2, 0), (0, 0), (0, 2), (2, ∞).
21.-
intersecciones en (0, -5), (0, 0), (0, 5);
22.-
intersecciones en (-1, 0), (1, 0);
23.-
intersecciones en (0, -∞), (-∞, 4), (4, ∞);
24.-
intersecciones en (0, -∞), (-1, ∞), (∞, 0), (0,0), (0, ∞);
25.-
intersecciones en (-∞, 0), (0, ∞);
26.-
intersecciones en (0, -∞), (-1, 1.5), (1.5, ∞);
27.-
es simetrica con respecto al eje en y = 2.
28.-
es simetrica en y = 0.5;
29.-
es simetrica en eje y = 2.
30.-
es simetrica en eje x, y = (0, 0);
31.-
es simetrica en eje x, y = (-∞, ∞);
32.-
es simetrica en eje x, y = (-∞, 10);
33.-
no es simetrica en ningun punto:
34.-
es simetrica en x = 4;
35.-
es simetrica en x = 1;
36.-
es simetrica en y = 2;
37.-
es simetrica en (0, 0);
38.-
es simetrica en x = -3;
39.-
interseccion en: (0.8, 2);
40.-
no tiene intersecciones;
41.-
no tiene intersecciones;
42.-
no tiene intersecciones;
43.-
intersecciones en (0, 1);
44.-
intersecciones en (3, 0);
45.-
intersecciones en (-3, 0);
46.-
intersecciones en (-0.1, -0.1);
47.-
intersecciones en (0, 2);
48.-
intersecciones en (-2, 0), (0, 0), (0, 2);
49.-
intersecciones en (-2, 0), (0, 0);
50.-
intersecciones en y = 3;
51.-
intersecciones en (0, 0);
52.-
intersecciones en (-4, 0), (2, 0), (-2, 0);
53.-
no hay intersecciones;
54.-
no hay intersecciones;
55.-
intersecciones en (-6, 0), (0, 6), (0, 6);
56.-
intersecciones en (0, 6), (6, 0);
57.-
intersecciones en (9, 0), (0, 3), (0, -3);
58.-
intersecciones en (-2, 0), (0, 1), (0, -1), (2, 0);
59.-
intersecciones en (6, 0), (0, 1.4), (0, -1.4)
60.-
intersecciones en (2.6, 0);
61.-
intersecciones en (1, 1);
62.-
intersecciones en (2, -3);
63.-
intersecciones en (-1, 5), (2, 2);
64.-
intersecciones en (2, 1), (-1, -2);
65.-
intersecciones en (2, 1), (-1, -2), (-2, -2);
66.-
intersecciones en (3, 4), (5, 0);
67.-
intersecciones en (0, 0), (1, 1);
68.-
intersecciones en (-2, 0), (1, -3);
69.-
intersecciones en (-1, -5), (0, -1), (2, 1);
70.-
intersecciones en (-1, 0), (0, 1), (1, 0);
71.-
intersecciones en (-3, 1.7), (-2, 2);
72.-
intersecciones en (1, 5), (3, 3);
1.- m = 1;
2.- m = 2;
3.- m = 3;
4.- m = 1;
5.- m = -12;
6.- m = -9;
Formula: y - y1 = m (x - x1).
7.- a) y - 3 = 1 (x - 2) => y - 3 = x - 2 => x - y + 1 = 0;
b) y - 3 = -2 (x - 2) => y - 3 = -2x + 4 => 2x + y - 7 = 0;
c) y - 3 = -3/2 (x - 2) => 2 (y - 3) = -3 (x - 2) => 2y - 6 = -3x + 6 => 3x + 2y + 12 = 0;
d) indefinida.
8.- a) y - 1 = 3 (x + 4) => y - 1 = 3x + 12 => 3x - y + 13 = 0;
b) y - 1 = -3 (x + 4) => y - 1 = -3x - 12 => 3x - y + 11 = 0;
c) y - 1 = 1/3 (x + 4) => 3(y - 1) = 1 (x + 4) => 3y - 3 = x + 4 => x - 3y + 7 = 0;
d) y - 1 = 0 (x + 4) => y - 1 = 0 => y = 1.
Formula: m = y2 - y1 / x2 - x1;
9.- (2 - (-4) / 5 - 3) => (2 + 4) / 2 => 6 / 2 => m = 3;
10.- (4 - 2 / (-2 - 1) => 2 / -3 => m = 3;
11.- (5 - 2 / 2 - 1) => 3 / 1 => m = 3;
12.- (-2 - (-2) / 4 - 3) => 0 / 1 => m = ∞;
13.- (1/6 - 2/3 / -3/4 - (-1/2) => -1/2 / -1/4 => m = 2;
14.- (-1/4 - (-3/4) / 5/4 - 7/2) => -1 / -11/4 => 4 / 11;
Formula: y - y1 = m (x - x1)
15.- y - 1 = 0 (x - 2) => y - 1 = 0 => y = 1;
16.- indefinida;
17.- y - 7 = -3 (x - 1) => y - 7 = -3x - 3 => 3x -y -3 -7 => 3x -y -10 = 0;
17.- y + 2 = 2 (x + 2) => y + 2 = 2x + 2 => 2x - y = 0.
d => 10^2 = √((0 - 1)^2 + (0 - 3)^2) => 10^2 = √10 => d = 10√10:
20.- a) da / dt = 1dia, dv / dt = ?, cuando a = 400, v = a^3, dv / dt = 3a^2 * da / dt => dv / dt =>
=> 3 (400)^2 (1) => 480, 000;
a) da / dt = 1dia, dv / dt = ?, cuando a = 400, v = a^3, dv / dt = 3a^2 * da / dt => dv / dt =>
=> 3 (100)^2 (1) => 30, 000;
a) da / dt = 1dia, dv / dt = ?, cuando a = 400, v = a^3, dv / dt = 3a^2 * da / dt => dv / dt =>
=> 3 (0)^2 (1) => 0.
23.- x + 5y = 20 => 5y = -x + 20 => y = -x + 20 / 5 => y = -1/5 + 4 => m = -1/5, (0, 4);
24.- 6x - 5y = 15 => 5y = -x + 20 => y = -6x + 5 / -5 => y = 6/5 -1 => m = -1/5, (6/5, -1);
25.- "m" no esta definida, no tiene interseccion con "y";
26.- "m" no esta definida, no tiene interseccion con "x";
27.- (0, 3), m = 3/4; => y - 3 = 3/4 (x - 0) => 4 (y - 3) = 3 (x - 0) => 4y - 12 = 3x - 0 =>
=> 3x -4y + 12 = 0;
28.- (-1, 2), m = indefinida; => y - 2 = indefinida (x +1) => y - 2 = indefinida => y = 2;
29.- (0, 0), m = 2 / 3; => y - 0 = 2 / 3 (x - 0) => 3 (y - 0) = 2 (x - 0) => 3y = 2x => 2x -3y = 0
30.- (0, 4), m = 0; => y - 4 = 0 (x - 0) => y - 4 = 0 => y = 4;
31.- (3, -2), m = 3; => y + 2 = 3 (x - 3) => y + 2 = 3x - 9 => 3x - y = -11 = 0;
32.- (-2, 4), m = -3/5; => y - 4 = -3/5 (x + 2) => 5 (y - 4) = -3 (x + 2) => 5y - 20 = -3x - 6 =>
=> 3x -5y - 20 + 6 = 0 => 3x -5y - 14 = 0;
Formula: m = ∆y / ∆x;
33.- (0, 0), (2, 6); => m = 6 - 0 / 2 - 0 => m = 6 / 2 => m = 3; => y - 0 = 3 (x - 0) => y - 0 = 3x - 0 => => 3x - y = 0;
34.- (0, 0), (-1, 3); => m = 3 - 0 / -1 - 0 => m = 3 / -1 => m = -3; => y - 0 = -3 (x - 0) => y - 0 = -3x - 0 => => 3x + y = 0;
35.- (2, 1), (0, -3); => m = -3 - 1 / 0 - 2 => m = -4 / -2 => m = 4 / 2 => m = 2; => y - 1 = 2 (x - 2) => => y - 1 = 2x - 4 => => 2x - y + 1 - 4 = 0 => 2x - y - 3 = 0;
36.- (-3, -4), (1, 4); => m = 4 - (-4) / 1 - (-3) => m = 8 / 4 => m = 2; => y - (-4) = 2 (x - (-3)) =>
=> y + 4 = 2x + 6 => 2x - y + 6 - 4 = 0 => 2x - y + 2 = 0;
37.- (2, 8), (5, 0); => m = 0 - 8 / 5 - 2 => m = -8 / 3; => y - 8 = -8 / 3 (x - 2) =>
=> y - 8 = -8 / 3 (x - 2) => 3 (y - 8) = -8 (x - 2) => 3y -24 = -8x + 16 => 8x + 3y - 40 = 0;
38.- (-3, 6), (1, 2); => m = 2 - 6 / 1 - (-3) => m = -4 / 4 => m = -1; => y - 6 = 1 (x + 3) =>
=> y - 6 = x + 3 => => x - y + 9 = 0;
39.- (5, 1), (5, 8); => m = 8 - 1 / 5 - 5 => m = 7 / 0 => m = ∞; => y - 1 = ∞ (x - 5) =>
=> y - 6 = ∞ => y + 6;
40.- (1, -2), (3, -2); => m = -2 + 2 / 3 - 1 => m = 0 / 2 => m = ∞; => y + 2 = ∞ (x - 5) =>
=> y + 2 = ∞ => y = -2;
41.- (1/2, 7/2), (0, 3/4); => m = 3/4 - 7/2 ÷ 0 - 1/2 => m = -11/4 ÷ (-1/2) => m = 11/2; =>
=> y - 7/2 = 11/2 (x - 1/2) => 2 (y - 7/2) = 11 (x - 1/2) => 2y - 7 = 11x - 11/2 =>
=> 11x -2y - 11/2 - 7 => 11x -2y + 3/2 => 22x -4y + 3 = 0;
42.- (7/8, 3/4), (5/4, -1/4); => m = -1/4 - 3/4 ÷ 5/4 - 7/8 => m = -1 ÷ 3/8 => m = -8/3=>
=> y - 3/4 = -8/3 (x - 7/8) => 3 (y - 3/4) = -8 (x - 7/8) => 3y - 9/4 = -8x + 7 =>
=> 8x + 3y - 9/4 -7 = 0 => 8x + 3y -37/4 = 0 => 32x + 12y - 37 = 0.
43.- Determinar la ecuacion de la recta vertica con x en 3:
x - 3 = 0;
44.- (a, 0), (0, b); => x/a + y/b = 1, a ≠ 0, b ≠ 0; => a/a + b/b = 1 => ab + ba = 1 => 2ab = 1 =>
=> ab = 1/2 => b = 1/2 ÷ a => b = a/2 => ab = 1/2 => a = 1/2 ÷ b => a = b/2.
45.- x: (2, 0), y: (0, 3); => x/a + y/b = 1 => x/2 + y/3 = 1 => 3x + 2y + 6;
46.- x: (-2/3, 0), y: (0, -2); => x/a + y/b = 1 => x/-2/3 + y/-2 = 1 => -2x -2/3y + 4/3 => -6x -2x + 1
=> 6x + 2y -1 = 0;
47.- x: (a, 0), y: (0, a); x/a + y/b = 1 => x/a + y/a = 1 => xa + ya + a^2 / a^2 => xa + ya + 1;
48.- (-3, 4), x: (a, 0(, y: (0, a); x/a + y/b = 1 => -3/a + 4/a = 1 => -3a + 4a = 1 => a = 1;
49.-
50.-
51.-
52.-
53.- y - 2 = 3/2 (x - 1) => 2 (y - 2) = 3 (x - 1) => 2y - 4 = 3x - 3 => 3x - 2y -3 + 4 = 0 =>
=> 3x -2y + 1 = 0 => -2y = -3x -1 => y = (-3x -1) / -2 => y = 3/2x +1/2;
54.- y - 1 = 3 (x + 4) => y - 1 = 3x + 12 => 3x - y +12 +1 => 3x - y +13 = 0 => -y = -3x -13 =>
=> y = 3x +13;
55.- 2x - y -3 = 0 => -y = -2x + 3 => y = 2x -3
56.- x + 2y + 6 = 0 => x + 2y = -6 => 2y = -x -6 => y = -1/2 -3
57.-
Las rectas en a) no parecen perpendiculares, pero lo parecen en b) debido a que se utiliza una configuracion cuadrada.
Las rectas son perpendiculares.
58.-
Las rectas parecen perpendiculares en el inciso a.
59.- (2, 1), 4x -2y = 3;
a) 4x -2y = 3 => 2y = -4x + 3 => y = (-4x + 3) / -2 => y = 2x + 3/2 => m = 2; =>
=> y - 1 = 2 (x - 2) => y - 1 = 2x - 4 => 2x -y -4 +1 = 2x -y -3 = 0;
b) 4x -2y = 3 => 4 (0) - 2y = 3 => -2y = 3 => y = -3/2 => y - 1 = -3/2 (x - 2) => 2 (y - 1) = -3 (x - 2) => 2y -2 = (-3x + 6) / 3 => 2y - 2 = -x + 2 => x + 2y -2 -2 = 0 => x + 2y -4 = 0.
60.- (-3, 2), x + y = 7;
a) x + y = 7 => y = -x + 7 => m = -1; =>
=> y - 2 = -1 (x + 3) => y - 2 = -x -3 => x + y -2 + 3 => x + y + 1 = 0;
b) x + y = 7 => x (0) + y = 7 => y = 7 => m = 7; =>
=> y - 2 = 7 (x + 3) => y - 2 = (7x + 21) / 7 => y - 2 = x + 3 => x - y + 3 + 2 => x + y + 5 = 0;
61.- (3/4, 7/8), 5x - 3y = 0;
a) 5x - 3y = 0 => -3y = -5x => y = -5/-3 x => y = 5/3x => m = 5/3 =>
=> y - 7/8 = 5/3 (x - 3/4) => 3 (y - 7/8) = 5 (x - 3/4) => 3y -21/8 = 5x -15/4 => y -7/8 = x -3/4 =>
x - y - 3/4 + 7/8 => x - y + 1/8 = 0;
b) 5x - 3y = 0 => 5 (0) = 3y => y = -3 => m = -3; =>
=> y - 7/8 = -3 (x - 3/4) => y - 7/8 = -3x + 9/4 => 3x + y -25/8 = 0 => 24x + 8y -25 = 0.
62.- (-6, 4), 3x + 4y = 7;
a) 3x + 4y = 7 => 4y = -3x + 7 => y = -3/4x + 7/4 => m = -3/4; =>
=> y - 4 = -3/4 (x + 6) => 4 (y - 4) = -3 (x + 6) => 4y -16 = -3x + 18 => 3x - 4y -16 -18 = 0 =>
=> 3x - 4y - 34 = 0;
b) 3x + 4y = 7 => 3(0) + 4y = 7 => y = 7/4 => m = 7/4; =>
=> y - 4 = 7/4 (x + 6) => 4 (y - 4) = 7 (x + 6) => 4y -16 = 7x + 42 => 7x - 4y = 58 => 7x - 4y - 58 = 0
63.- (2, 5), x = 4;
x = 4 - 2 => x = 2;
64.- (-1, 0), y = -3;
y = -3.
65.- 2.540 + 125;
66.- 156 + 4.50;
67.- 20,400 + 2,000;
68.- 245,000 + 5,600.
69.-
70.-
71.- (-2, 1), (-1, 0), (2, -2);
d = √((0 - 1)^2 + (-1 + 2)^2) => d = √(1 + 1) => d = √2;
d = √((0 - 1)^2 + (-2 - 0)^2) => d = √(4 + 9) => d = √13;
d = √((-2 - 1)^2 + (2 + 2)^2) => d = √(-3 + 4) => d = √(9 + 16) => d = √25;
AC = AB + BC => √25 = √13 + √2 => √25 ≠ √15;
72.- (0, 4), (7, -6), (-5, 11);
d = √((-6 - 4)^2 + (7 - 0)^2) => d = √(100 + 49) => d = √149;
d = √((11 - 4)^2 + (5 - 4)^2) => d = √(49 + 25) => d = √74;
d = √((11 + 6)^2 + (-5 - 7)^2) => √(284 + 144) => d = √428;
AC = AB + BC => √428 = √74 + √149 => √428 ≠ √223;
73.- (-a, 0), (b, c), (a, 0);
d = √((c - 0)^2 + (b + a)^2) => d = √ (c^2 + b^2 + a^2) => d = c + b + a;
d = √((0 - c)^2 + (a - b)^2) => d = √ (c^2 + a^2 - b^2) => d = c + a - b;
d = √((0 - 0)^2 + (a - a)^2) => d = √ (a^2 - a^2) => d = a - a;
c + b + a = -c + a + b
2c = 0;
74.- (-a, 0), (b, 0), (a, 0);
d = √((0 - 0)^2 + (b + a)^2) => d = √ (b^2 + a^2) => d = b + a;
d = √((0 - 0)^2 + (a - b)^2) => d = √ (a^2 - b^2) => d = a - b;
d = √((0 - 0)^2 + (a - a)^2) => d = √ (a^2 - a^2) => d = a - a;
b + a = a - b
(2a + 2b)/2 = 0
a + b = 0;
73.- (-a, 0), (b, c), (a, 0);
d = √((c - 0)^2 + (b + a)^2) => d = √ (c^2 + b^2 + a^2) => d = c + b + a;
d = √((0 - c)^2 + (a - b)^2) => d = √ (c^2 + a^2 - b^2) => d = c + a - b;
d = √((0 - 0)^2 + (a - a)^2) => d = √ (a^2 - a^2) => d = a - a;
c + b + a = -c + a + b
2c = 0;
77.- 5F - 9C - 160 = 0; 72 F ≃ 22.2 C;
78.- reembolso de gastos $150 + 34K/mi => 1 mi = 34¢ => 137 => x = 4, 650.
79.- a) W1 = 12.50 + 0.75x; W2 = 9.30 + 1.30x;
b)
c) Con cualquiera de las opciones.
80.-
a) $875 ≤ x ≤ 0;
b) x = $875 / 2 => x = 437.5;
c) 875 / 4.3 = 203.4...
83.- Recta tangente al circulo x^2 + y ^2 = 169, en el punto (5, 12); =>
5^2x + 12^2y = 169 => 25x + 144y - 169 = 0.
84.- Recta tangente => (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25, en el punto (4, -3);
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25 => (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 => C(h, k) => C(1, 1), r = 5;
m = y2 - y1 / x2 - x1 => m = -3 -1 / 4 -1 => m = -4/3 => m = 3/4 =>
=> y - (-3) = 3/4 (x - 4) => 4 (y + 3) = 3 (y + 3) => 4y + 12 = 3y + 9 =>
=> 3x - 4y - 24 = 0.
85.- (0, 0), 4x + 3y -10 = 0;
| 4 (0) + 3 (0) - 10 / √ (4^2 + 3^2) | => | 10 / √25 | => 10/5 => 2;
86.- (2, 3), 4x + 3y - 10 = 0;
| 4 (2) + 3 (3) - 10 / √ (4^2 + 3^2) | => | 27 / √25 | => 27/5;
87.- (-2, 1), x - y - 2 = 0;
| 1 (-2) + 1 (1) - 2 / √ (1^2 + 1^2) | => | 5 | / √2 => | 5 / (√2)^2 | => 5√2 / 2;
88.- (6, 2), x = -1;
| A (-1) + B (2) + C / √ (A^2 + B^2) | => | -A + 2B + C / √(A^2 + B^2) | =>
=> A + 2B + C / A^2 + B^2 => B + C.
89.- x + y = 1,
x + y = 5;
x + y - 1 = 0, => x + y -5 = 0;
| -1 + 5 | / √( 1^2 + 1^2) => | 4 / √2 | => 4√2 / 2 => 2√2;
90.- 3x - 4y = 1
3x - 4y = 10;
3x - 4y - 1 = 0, 3x - 4y - 10 = 0 => 3/3x - 4/3y - 1/3 = 0, 3/3x - 4/3y - 10/3 = 0 =>
=> x - 4/3y - 1/3 = 0, x - 4/3y - 10/3 = 0 => | -1/3 + 4/3 / √((1^2 + (-4/3)^2) | =>
=> 1 / √ (1 + 16/9) => 1 / √ 25/9 => 1 ÷ 5/3 => 3/5.
91.- (x1, y1), Ax + By + C => | Ax1 + By1 + C / √ A^2 + B^2 | =>
=> Ax1 + By1 + C / A + B => x1 + y1 + C.
92.- (3, 1), y = mx + 4; => y = mx + 4=> x - y + 4 => x - y + 4 = 0 =>
=> | 1 (3) - 1 (1) + 4 / √ 1^2 + 1^2 | => 8 / √2 => 8√2 / 2 => 4√2.
3.-
f(x) = 2x -3;
a) ⨍(0), b) ⨍ (-3), c) ⨍ (6), d) ⨍ (x - 1);
a)
f(x) = 2(0) -3 => f(x) = -3;
b)
f(x) = 2(-3) -3 => f(x) = -9;
c)
f(x) = 2(b) -3 => f(x) = 2(b) -3;
d)
⨍ (x - 1) = 2(x - 1) -3 => f(x) = 2x - 8;
4.-
f(x) = (√x - 3);
a) ⨍(-2), b) ⨍ (6), c) ⨍ (-5), d) ⨍ (x + ∆x);
a)
f(-2) = (√-2 - 3) = f(-2) = (√-5);
b)
f(6) = (√6 - 3) = f(-2) = (√3);
c)
f(-2) = (√-5 - 3) = f(-2) = (√-8);
d)
⨍ (x + ∆x) = (√x - 3) => ⨍ (x + ∆x) = [√(x + ∆x) - 3] => ⨍ (x + ∆x) = (-3x - 3∆x).
5.-
g(x) = 3 - x^2;
a) ց(0), b) ց(√3), c) ց(-2), d) ց(t - 1);
a)
g(0) = 3 - (0^2) = 3;
b)
g(√3) = 3 - (√3)^2) => 3 - 3 => 0;
c)
g(-2) = 3 - (-2^2) = -1;
d)
g(t - 1) = 3 - [(t - 1)^2] = 3 - t^2 + 2t - 1 => - t^2 + 2t +2 => t^2 - 2t -2.
6.-
g(x) = x^2 (x - 4);
a) ց(4), b) ց(3/2), c) ց(c), d) ց(t + 4);
a)
g(4) = 4^2 (4 - 4) = 16;
b)
g(3/2) = 3/2 (3/2 - 4) = - 15/4;
c)
g(c) = c^2 (c - 4) = c^2 - 4c^2;
d)
g(t + 4) = (t + 4)^2 (t + 4 - 4) = t^3 + 8t^2 + 16t.
7.-
f(x) = Cos2x;
a) ⨍(0), b) ⨍ (-π/4), c) ⨍ (π/3);
a)
f(0) = Cos2(0) = 1;
b)
f(-π/4) = Cos2(-π/4) = -0.8;
c)
f(π/3) = Cos2(π/3) = 1.05.
8.-
f(x) = senx;
a) ⨍(π), b) ⨍ (5π/4), c) ⨍ (2π/3);
a)
f(π) = senπ = 0.06;
b)
f(5π/4) = sen5π/4 = 0.07;
c)
f(2π/3) = sen2π/3 = 0.04.
13.-
h(x) = - (√x + 3) => Dominio: [-3, ∞], Rango: (-∞, 0];
14.-
Dominio: lR, Rango: [-5, ∞];
15.-
Dominio: Todos los numeros reales "t" tales que t ≠ 4n+2, donde "n" es un numero entero;
Rango: (-∞, -1] ⋃ [1, ∞);
16.-
Dominio: (-∞, 0] ⋃ [0, ∞), Rango: (-∞, 0] ⋃ [0, ∞);
17.-
Dominio: (-∞, 0] ⋃ [0, ∞), Rango: (-∞, 0] ⋃ [0, ∞);
18.-
Dominio: lR {-1}, Rango: (-∞, 1) ⋃ (1, ∞);
19.-
f(x) = (√x) + (√1 - x) = [0, 1];
20.-
f(x) = √(x^2 -3x + 2) = (-∞, 1] ⋂ [2, ∞);
21.-
g(x) = [2 ÷ (-cosx)] = Todos los numeros reales "x" tales que x ≠ 2nπ, donde "n" es un entero.;
22.-
h(x) = [1 ÷ (senx -1/2)] = Todos los numeros reales "x" tales que x ≠ 2nπ, donde "n" es un entero.;
23.-
f(x) = (1 ÷ |x + 3|) = (-∞, -3) ⋃ (-3, ∞).;
24.-
g(x) = (1 ÷ |x^2 - 4|) = (-∞, -2) ⋃ (-2, 2) ⋃ (2, ∞).
25.-
f(x) = 2x + 1, x<0
2x + 2, x≥0 ;
a)
f(-1) = 2(-1) + 1 = -1,
2(-1) + 2 = 0,
f(-1) = -1;
b)
f(0) = 2(0) + 1 = 1,
2(0) + 2 = 2,
f(0) = 2;
c)
f(2) = 2(2) + 1 = 5,
2(2) + 2 = 6,
f(2) = 6;
d)
f(t^2 + 1) = 2(t^2 + 1) + 1 = 2t^2 + 2 + 1 => 2t^2 + 3,
2(t^2 + 1) + 2 = 2t^2 + 2 + 2 => 2t^2 + 4.
d)
f(t^2 + 1) = 2t^2 + 4.
26.-
f(x) = x^2 + 2,
2x^2 +2;
a)
f(-2) = -2^2 + 2 = 6,
2(-2^2) +2 = 10;
f(-2) = 10;
b)
f(0) = 0^2 + 2 = 2,
2(0^2) +2 = 2;
f(0) = 2;
c)
f(5) = 5^2 + 2,
2(5^2) +2;
f(5) = 52;
d)
f(s^2 + 2) = (s^2 + 2)^2 + 2 = s^2 + 8,
2(s^2 + 2)^2 +2 = 2s^2 + 16.
f(s^2 + 2) = 2s^2 + 16.
27.-
f(x) = |x| + 1,
-x + 1;
a)
f(-3) = |-3| + 1 = 4,
-(-3) + 1 = 4;
f(-3) = 4;
b)
f(x) = |1| + 1 = 2,
-1 + 1 = 0;
f(x) = 2;
c)
f(3) = |3| + 1 = 4,
-3 + 1 = -2;
f(3) = 4;
d)
f(b^2 + 1) = |(b^2 + 1)| + 1 = b^2 + 2,
-(b^2 + 1) + 1 = -b^2.
f(b^2 + 1) = b^2 + 2.
28.-
f(x) = √(x + 4), x ≤ 5,
(x - 5)^2, x > 5;
a)
f(-3) = √[(-3 + 4)] = √(-1),
[(-3 + 4)]^2 = 1;
f(-3) = 1;
b)
f(0) = √[(0 + 4)] = 2,
[(0 - 5)]^2 = 25;
f(0) = 25;
c)
f(5) = √[(5 + 4)] = 3,
[(5 - 5)]^2 = 0;
f(5) = 3;
d)
f(10) = √[(10 + 4)] = 19/5,
[(10 - 5)]^2 = 25.
f(10) = 25.
13.-
Dominio: [-3, ∞); Rango: (-∞, 0];
14.-
Dominio: lR; Rango: (-5, ∞].
15.-
Dominio: Todos los numeros reales "t" tales que t ≠ 4n + 2, donde "n" es un entero,
Rango: (-∞, -1] ⋃ [1, ∞);
16.-
Dominio: (-∞, ∞),
Rango: (-∞, ∞);
17.-
Dominio: (-∞, 0) ⋃ (0, ∞), Rango: (-∞, 0) ⋃ (0, ∞);
18.-
Dominio: lR - {-1}, Rango: lR - {-1}.
19.-
Dominio: [0, 1];
20.-
Dominio: (-∞, 1] ⋂ [2, ∞);
21.-
Dominio: Todos los numeros reales "x" tales que x ≠ 2nπ, donde "n" es un entero.
22.-
Dominio: Todos los numeros reales "x" tales que x ≠ 2nπ, donde "n" es un entero.
23.-
Dominio: (-∞, -3] ⋃ [-3, ∞);
24.-
Dominio: (-∞, 1] ⋃ [1, ∞);
25.-
f(x) = 2x + 1, X < 0
2x + 2, X ≥ 0;
a)
f(-1) = 2(-1) + 1 = -1
2(-1) + 2 = 0;
f(-1) = -1;
b)
f(0) = 2(0) + 1 = 1
2(0) + 2 = 2;
f(0) = 2;
c)
f(2) = 2(2) + 1 = 5
2(2) + 2 = 6;
f(2) = 6;
d)
f(t^2 + 1) = 2(t^2 +1) + 1 = 2t^2 + 3
2(t^2 +1) + 2 = 2t^2 + 4;
f(t^2 + 1) = 2t^2 + 4;
26.-
f(x) = x^2 + 2, x ≤ 1
2x^2 + 2, x > 1;
a)
f(-2) = (-2)^2 + 2 = 6
2(-2)^2 + 2 = 10;
f(-2) = 10;
b)
f(0) = (0)^2 + 2 = 2
2(0)^2 + 2 = 2;
f(-2) = 2;
c)
f(1) = (1)^2 + 2 = 3
2(1)^2 + 2 = 4;
f(1) = 4;
d)
f(s^2 + 2) = (s^2 + 2)^2 + 2 = 3
2(s^2 + 2)^2 + 2 = 4;
f(s^2 + 2) = 4;
27.-
f(x) = |x| + 1, x < 1
-x + 1, x ≥ 1;
a)
f(-3) = |-3| + 1 = 4
-(-3) + 1 = 4;
f(-3) = 4;
b)
f(1) = |1| + 1 = 4
-(1) + 1 = 4;
f(1) = 4;
c)
f(3) = |3| + 1 = 4
-(3) + 1 = -2;
f(3) = 4;
d)
f(b^2 + 1) = |b^2 + 1| + 1 = b^2 + 2
-(b^2 + 1) + 1 = -b^2;
f(b^2 + 1) = b^2 + 2;
28.-
f(x) = √(x + 4), x ≤ 5
(x - 5)^2, x > 5;
a)
f(-3) = √[(-3) + 4] = √(1)
[(-3) - 5]^2 = 64;
f(-3) = 64;
b)
f(0) = √(0 + 4) = √(1)
(0 - 5)^2 = 64;
f(0) = 64;
c)
f(5) = √(5 + 4) = 3
(5 - 5)^2 = 0;
f(5) = 0;
d)
f(10) = √(10 + 4) = √(14)
(10 - 5)^2 = 25;
f(5) = 25;
29.-
Dominio: (-∞, ∞);
Rango: (∞, ∞).
30.-
Dominio: lR - {4};
Rango: lR - {4}.
31.-
Dominio: [3, ∞);
Rango: [0, ∞).
32.-
Dominio: lR - {2};
Rango: lR - {2}.
33.-
Dominio: [-3, 3];
Rango: [0, 3].
34.-
Dominio: [-2, 2];
Rango: [0,2].
37.-
39.-
no es una funcion de "x";
40.-
es una funcion de "x";
41.-
es una funcion de "x";
42.-
no es una funcion de "x".
43.-
no es una funcion de "x";
44.-
es una funcion de "x";
45.-
es una funcion de "x";
46.-
es una funcion de "x".
1.-
intersecciones: (0, -3) y (1.5, 0);
2.-
intersecciones: (0, 3);
3.-
intersecciones: (0, -1) y (1, 0);
5.-
si es simetrica;
6.-
si es simetrica.
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
.
17.-
puntos de interseccion: (4, 1);
18.-
.
33.-
no expresa a "y" como una funcion de "x";
34.-
si expresa a "y" como una funcion de "x";
35.-
si expresa a "y" como una funcion de "x";
36.-
no expresa a "y" como una funcion de "x".
a)
f(-4);
f(-4) = (-4)^2+2 = 18,
|-4 -2| = 6;
b)
f(0);
f(0) = (0)^2+2 = 2,
|0 -2| = 2;
c)
f(1);
f(1) = (1)^2+2 = 18,
|1 -2| = 3.
a)
Dominio: [-6, 6], Rango: [0, 6];
b)
Dominio: (-∞, 5) ⋃ (5, ∞), Rango: (-∞, 0) ⋃ (0, ∞);
c)
no lo pude graficar;
Dominio: (-∞, ∞), Rango: (-∞, ∞).
1.-
a)
lim => h(x) = 5;
h(x) = x^2 - 5x => h(x) = 5^2 - 5 (5) = 0;
b)
lim => h(x) = -1;
h(x) = x^2 - 5x => h(x) = (-1)^2 - 5 (-1) = 6;
2.-
a)
lim => g(x) = 4;
g(x) = 12(√(x - 3)) / (x - 9) => h(x) = 12(√(4 - 3)) / (4 - 9) = 0;
b)
lim => g(x) = 0;
g(x) = 12(√(x - 3)) / (x - 9) => g(x) = 12(√(0 - 3)) / (0 - 9) = 4(√(-3) / (- 9);
3.-
a)
lim => f(x) = 0;
f(x) = xcosx = 0 => f(x) = 0*cos0 = 0;
b)
lim => f(x) = π/3;
f(x) = xcosx = 0 => f(x) = π/3*cosπ/3 = 0.52. o π/3;
4.-
sustitui las ts por xs;
a)
lim f(t) = 4;
f(t) = t |t - 4| => 4 |4 - 4| = 32;
b)
lim f(t) = -1;
f(t) = t |t - 4| => -1 |-1 - 4| = -5.
5.-
lim x ￫ 2; x^4 => 2^4 = 16;
6.-
lim x ￫ -2; x^3 => (-2)^3 = 8;
7.-
lim x ￫ 0; [2x - 1] => [2 (0) - 1] = 16;
8.-
lim x ￫ -3; (3x + 2) => (3 (-3) + 2) = -7;
9.-
lim x ￫ -3; (x^2 + 3x) => [(-3)^2 + 3(-3)] = 18;
10.-
lim x ￫ -3; (-x^2 + 1) => (-(-3)^2 + 1) = 2;
11.-
lim x ￫ -3; (2x^2 + 4x +1) => (2(-3)^2 + 4(-3) +1) = 7;
12.-
lim x ￫ 1; (3x^3 - 2x^2 + 4) => [3(1)^3 - 2(1)^2 + 4] = 5;
13.-
lim x ￫ 2; 1/x => 1/2;
14.-
lim x ￫ -3; 2/x + 2 => 2/(-3 + 2) = -2;
15.-
lim x ￫ 1; (x - 3) / (x^2 + 4) => (1 - 3) / (1^2 + 4) = - 1/2;
16.-
lim x ￫ 3; (2x - 3) / (x + 5) => [2(3) - 3] / [(3) + 5] = 3/8;
17.-
lim x ￫ 7; [5x / √(x + 2)] => 35/5;
18.-
lim x ￫ 3; [√(x + 1) / (x - 4)] = -2;
19.-
lim x ￫ 3; √(x + 1) = 2;
20.-
lim x ￫ 4; ∛(x + 4) = 2;
21.-
lim x ￫ (-4); (x + 3)^2 = 1;
22.-
lim x ￫ 0; (2x - 1)^3 = -1.
Encontrar los limites
23.-
a) lim x ￫ 1; f(x) = 5 - x, a) lim x ￫ 4; b) g(x) = x^3, c) lim x ￫ 1; g(f(x));
a)
lim x ￫ 1; 5 - x => 5 - 1 = 4;
b)
g(x) = x^3 => 4^3 = 64;
c)
x^3 (5 - x) => 64 (1) = 64;
24.-
f(x) = x + 7, g(x) = x^2; a) lim x ￫ -3; f(x), b) lim x ￫ 4; g(x), c) lim x ￫ -3; g(f(x));
a)
lim x ￫ -3; f(x) x + 7 => f(x) (-3 + 7) = 4;
b)
lim x ￫ 4; f(x) x^2 => f(x) 4^2 = 16;
c)
lim x ￫ -3; g(f(x)) => x^2 (x + 7) => [(-3)^2 (-3) + 7)] = 16;
25.-
f(x) = 4 - x^2, g(x) = √(x + 1); a) lim x ￫ 1; f(x), b) lim x ￫ 3; g(x), c) lim x ￫ 1; g(f(x));
a)
lim x ￫ 1; f(x) = 4 - x^2 => 4 - 1^2 = 3;
b)
lim x ￫ 3; g(x) = √(x + 1) => √(3 + 1) = √(4) => 2;
c)
lim x ￫ 1; g(f(x)) => 2[3(1)] = 6;
26.-
f(x) = 2x^2 - 3x + 1, g(x) = ∛(x + 6); a) lim x ￫ 4; f(x), b) lim x ￫ 21; g(x), c) lim x ￫ 4; g(f(x));
a)
lim x ￫ 4; f(x) = 2x^2 - 3x + 1 => 2 (4)^2 - 3 (4) + 1 = 20;
b)
lim x ￫ 21; g(x) = ∛(x + 6) => ∛(21 + 6) = 3;
c)
lim x ￫ 4; g(f(x)) => 3 [20(4)] = 240.
27.-
lim x ￫ π/2; sen x => sen π/2 = 1;
28.-
lim x ￫ π => tan π = 0;
29.-
lim x ￫ 2; cos (πx/3) = 1;
30.-
lim x ￫ 1; sen (πx/2) = 0.03;
31.-
lim x ￫ 0; sec 2(0) = 0;
32.-
lim x ￫ π; cos 3π = -1;
33.-
lim x ￫ 5π/6; sen (5π/6) = 0.5;
34.-
lim x ￫ 5π/6; cos (5π/6);
35.-
lim x ￫ 3; tan (π3/4) = 0.05;
36.-
lim x ￫ 7; sec (π7/6) = 15.5.
37.-
lim x ￫ c; f(x) = 2, lim x ￫ c; g(x) = 3;
a) lim x ￫ c; [5g(x)], b) lim x ￫ c; [f(x) + g(x)], c) lim x ￫ c; [f(x)g(x)], d) lim x ￫ c; [f(x) / g(x)];
a)
lim x ￫ c; [5g(x)] => [5 (3)] = 15;
b)
lim x ￫ c; [f(x) + g(x)] => [(2) + (3)] = 5;
c)
lim x ￫ c; [f(x)g(x)] = [(2)(3)] = 6;
d)
lim x ￫ c; f(x) / g(x) = f(2) / g(3) = 2/3.
38.-
lim x ￫ c; f(x) = 3/2;
lim x ￫ c; g(x) = 1/2; a) lim x ￫ c; [4f(x)], b) lim x ￫ c; [f(x) + g(x)],
c) lim x ￫ c; [f(x)g(x)], d) lim x ￫ c; [f(x) / g(x)];
a)
lim x ￫ c [4 (3/2)] = 6;
b)
lim x ￫ c [3/2 + 1/2] = 2;
c)
lim x ￫ c [3/2 * 1/2] = 3/4;
d)
lim x ￫ c [3/2 ÷ 1/2] = 3/4;
39.-
lim x ￫ c; f(x) = 4;
a) lim x ￫ c; [f(x)]^3; b) lim x ￫ c; [√f(x)]; c) lim x ￫ c; [3f(x)];
d) lim x ￫ c; [f(x)]^3/2;
a)
lim x ￫ c; [4]^3 =64;
b)
lim x ￫ c; √(4) =2;
c)
lim x ￫ c; [3*4] = 12;
d)
lim x ￫ c; [4]^3/2 = 32;
40.-
lim x ￫ c; f(x) = 27;
a) lim x ￫ c; [∛f(x)], b) lim x ￫ c; [f(x) / 18], c) lim x ￫ c; [3f(x)], d) lim x ￫ c; [f(x)]^2/3;
a)
lim x ￫ c; [∛(27)] = 3;
b)
lim x ￫ c; [f(27) / 18] = 3/2;
c)
lim x ￫ c; [3f(x)] = [3(27)] = 729;
d)
lim x ￫ c; [f(x)]^2/3 => (27)^3/2 = 243.
41.-
g(x) = [(-2x^(2)+x)/(x)]
a) 1, b) 3,
g(x) = [(-2x^2 + x) / (x)] y f(x) = -2x + 1 coinciden, excepto en x = 0;
42.-
a)
lim x ￫ -2; h(x);
h(x) = [(-2^(2) - 3 (-2)) / (-2)] = 1;
b)
h(x) = [(0^(2) - 3 (0)) / (0)] = ∞;
h(x) = [(x^(2) - 3x) / (x)] y h(x) = (x - 3), coinciden excepto en x = 2.
43.-
a) 2, b) 0;
g(x) = [(x^(3) - x) / (x - 1)] y f(x) = x^2 + x, coinciden, excepto en x =1;
44.-
a)
f(x) = (1/1^(2) - 1) = ∞;
b)
f(x) = (0/0^2 - 0) = ∞;
.
45.-
lim x ￫ -1; [(x^2 - 1) / (x+1)] => [(-1^(2) -1) / (-1 + 1)] = 0/0;
=> [(x + 1 * x - 1) / (x + 1)] => x - 1 => -1 -1 = -2;
46.-
lim x ￫ -1; [(2x^(2) - x - 3) / (x + 1)] => [(x + 1) (2x - 3) / (x + 1)] => 2x - 3 =>
=> 2 (-1) - 3 = -5;
47.-
lim x ￫ 2; [(x^(3) + 1) / (x - 2)] => [(x - 2) (x^(2) + x +4) / (x - 2)] = 10;
48.-
lim x ￫ -1; [(x^(3) + 1) / (x + 1)] = [(x + 1) (x^(2) + x + 1) / (x + 1)] => (x^(2) + x + 1) =>
=> (-1^(2) + (-1) + 1) = 3;
49.-
lim x ￫ 5; [(x - 5) / (x^(2) - 25)] => [(x - 5) / (x - 5) (x + 5) => [ 1 / (x + 5)] = [ 1 / (5 + 5)] = 1 / 10;
50.-
lim x ￫ 5; [(2 - x) / (x - 2) (x + 2)] => [ 1 / (x + 2)] => [ 1 / (2 + 2)] = 1 / 4;
51.-
lim x ￫ -3; [(x^(2) + x - 6) / (x^(2) - 9)] => [(x - 2) (x + 3) / (x - 3) (x + 3)] => [(x - 2) / (x - 3)] =>
=> [(-3 -2) / (-3 -3)] => (-5 / -6) => 5 / 6;
52.-
lim x ￫ 4; [(x^2 - 5x + 4) / (x^2 - 2x - 8)] => [(x - 1) (x - 4) / (x + 2) (x - 4)] => [(x - 1) / (x + 2)] =>
=> [(-3 - 1) / (-3 + 2)] => (-4 / -1) = 4;
53.-
lim x ￫ 4; [(√(x + 5) - √(5) / x ] => [(√(x + 5) - (√5) / x ] [√(x + 5) + √(5) / √(x + 5) + (√(5)] =>
=> [ x √(5) / x (√(x + 5) + (√(5))] => [ √(5) / (√(x + 5) + (√(5))] => [ √(5) / (√(10].
54.-
lim x ￫ 4; [√(2 + x) - √(2) / x ] => [√(2 + x) - √(2) / x ] [√(2 + x) + √(2) / √(2 + x) + √(2)] =>
=> [ x √(2) / x (√(2 + x) ] => [ √(2) / (√(2 + x) + √(2)] => [ √(2) / (√(4)];
55.-
lim x ￫ 4; [√(x + 5) - 3 / (x - 4)] => [√(x + 5) - 3 / (x - 4)] [√(x + 5) + 3 / √(x + 5) + 3] =>
=> [√(x + 5) / (x - 4) (√(x + 5) + 3)] = 1/6;
56.-
lim x ￫ 4; [√(x + 1) - 2 / (x - 3)] => [√(x + 1) + 2 / √(x + 1) + 2 ] =>
=> [√(x + 1) / (x - 3) √(x + 1) + 2] => 1/2;
57.-
lim x ￫ 0; [ 1 / (3 + x) - (1/3) ÷ x ] =>
=> [ 1 / (3 + x) - (1/3) ÷ x ] [(1 / (3 + x) + 1/3) ÷ (1 / (3 + x) + 1/3) =>
=> [x (1/3) / x (1/ (3 + x) + 1/3)] = 1/2.
1.-
a) 1; b) 1; c) 1; d) f(x) = Es continua en (-∞, ∞);
2.-
a) -2; b) -2; c) -2; d) f(x) = Es continua en (-∞, ∞);
3.-
a) 0; b) 0; c) 0; d) Discontinua en x = 3;
4.-
a) 2; b) 2; c) 2; d) Discontinua en x = -2;
5.-
a) 2; b) -2; c) No existe el limite; d) Discontinuidad en x = 4;
6.-
a) 2; b) 0; c) No existe el limite; d) Discontinuidad en x = -1;
7.-
lim x ￫ 5¯; [(x - 5) / (x^(2) - 25)] = 0/0 => lim x ￫ 5¯; [(x - 5) / (x - 5) (x + 5)] => [ 1/ (x + 5)] =>
=> [ 1/ (x + 5)] => 1/10;
8.-
lim x ￫ 2; [(2 - x) / (x^(2) - 4)] = 0/0 => lim x ￫ 2; [(2 - x) / (2 - x) (x + 2)] => [ 1/(x + 2)] =>
=> [ 1/(x + 2)] = 1/4;
9.-
lim x ￫ 3¯; [(x / √(x^(2) - 9)] = 0/0 => lim x ￫ 3¯; [(x / √(x^(2) - 9)] =>
=> lim x ￫ 3¯; [(x / √(x - 3)] => [(1/ -3)];
10.-
lim x ￫ 3¯; [(√(x) - 2) / (x - 4)] = 0/0 => No existe el limite. La funcion decrese sin limite a medida que "x" tiende a 2 por la izquierda.;
11.-
lim x ￫ 0¯; [|x| / x] = -1;
12.-
lim x ￫ 2; [(|x - 2|) / (x - 2)] = 0/0 => lim x ￫ 2; [(|x - 2|) / (x - 2)] =>
=> [(|(x - 2) (x + 1)|) / (x - 2) (x + 1)] => [(|x + 1|) / (x + 1)] => [(|2 + 1|) / (2 + 1)] => (3/3) = 1;
15.-
lim x ￫ 3; f(x), donde f(x) = {(x + 2 / 2), x ≤ 3; {(12 - 2x / 3), x > 3; =>
=> f(x) = {(3 + 2 / 2) = 3;
=> f(x) = {(12 - 2x / 3) = 2/3;
16.-
lim x ￫ 3; f(x), donde f(x) = {(x^(2) - 4x + 6, x < 2; {-x^(2) + 4x - 2, x ≥ 2; =>
=> {2^(2) - 4(2) + 6 = 2; {-2^(2) + 4(2) - 2 = 2;
17.-
lim x ￫ 1; f(x), donde f(x) = {(x^(3) + 1, x < 1; {x + 1, x ≥ 1; => {1^(3) + 1 = 2; 1 + 1 = 2;
18.-
lim x ￫ 1; f(x), donde f(x) = {(x, x ≤ 1; 1- x, x > 1; => {1; {1 -1 = 0;
19.-
lim x ￫ π; cot x => No existe el limite. La funcion decrce sin limite a medida que "x" tiende a π por la izquierda y crece sin limite a medida que "x" tiende a π por la derecha.
20.-
lim x ￫ π/2; sec x => No existe. La funcion decrece sin limite a medida que "x" tiende a π/2 por la izquierda y crece sin limite a medida que "x" tiende a π/2 por la derecha.
21.-
lim x ￫ 4; (3|x| - 5) => (3|4| - 5) = 4;
22.-
lim x ￫ 2¯; (2x - [[x]]) = 2 => (2(2) - [[2]]) = 2 => No existe el limite. La funcion tiende a 2 por la izquierda de 2 pero tiende a 4 por la derecha de 2.
23.-
lim x ￫ 3; (2 - [-x]) = 5 => No existe el limite. La funcion tirndr a 5 por la izquierda de 3 pero tiende a 6 por la derecha de 3.
24.-
lim x ￫ 1; (1 - [[-x/2]]) => lim x ￫ 1; (1 - [[-1/2]]) = 3/2 => No existe el limite. La funcion tiende a 1/2 por la izquierda de 1 pero tiende a -5/4 por la derecha.
25.-
25.-
Discontinuidad en x = -2 y x = 2;
26.-
Continuidad en x = 1;
27.-
Discontinuidad en todo numero entero;
28.-
Discontinuidad en x = -1 y x = 1.
29.-
continuidad en [-5, 5];
30.-
continuidad en [-3, 3];
31.-
continuidad en [-1, 4];
32.-
continuidad en [-1, 2];
33.-
Reales para todos los x reales;
34.-
lR - {1};
35.-
Reales para todos los x reales;
36.-
continuidad en x = 1;
37.-
discontinuidad no removible en x = 1,
discontinuidad removible en x = 0.
38.-
lR -{-1};
39.-
lR -{1};
40.-
discontinuidad removible en x = -10,
discontinuidad no removible en x = 10;
41.-
discontinuidad removible en x = -2,
discontinuidad no removible en x = 5.,
42.-
discontinuidad removible en x = -5,
discontinuidad no removible en x = 2;
43.-
continuidad no removible en x = -3.
44.-
continuidad no removible en x = 2.
45.-
continuidad para todo real x;
46.-
continuidad para todo real x.
1.-
lim x ￫ -2+; (2| x / x^2 -4 |) = ∞;
lim x ￫ -2-; (2| x / x^2 -4 |) = ∞;
2.-
lR - {2};
3.-
lim x ￫ 2+ tg((π*x)/(2)) = -∞, lim x ￫ 2- tg((π*x)/(2)) = ∞;
4.-
|R - {4};
9.-
x = 0;
10.-
x = 2;
11.-
x = 2;
12.-
x = 3;
13.-
x = -3;
14.-
x = 5;
15.-
discontinuidad removible en x = -1,
discontinuidad no removible en x = 1;
16.-
discontinuidad removible en x = -30,
discontinuidad no removible en x = 12;
17.-
x = π/4 + (nπ)/2, n es un entero.
18.-
lR - {1};
19.-
t = 0;
20.-
no hay ninguna asintota horizontal;
21.-
x = -2, x = 1;
22.-
discontinuidad removible en x = 3,
discontinuidad no removible en x = -1:
23.-
no hay asintota vertical;
24.-
no hay asintota vertiical;
25.-
no hay asintota vertiical;
26.-
x = 4;
27.-
|R - {1};
29.-
discontinuidad en x = -1;
30.-
discontinuidad removible en x = 15,
discontinuidad no removible en x = 6;
31.-
discontinuidad removible en x = 3,
discontinuidad no removible en x = -1;
32.-
es real para todos los valores de x.
49.-
lim x ￫ 1 f(x) = ∞;
50.-
lim x ￫ 1 f(x) = ∞;
51.-
lim x ￫ 5 f(x) = - ∞;
52.-
no existe;
5.-
a)
lim x ￫ 0; h(x) = 0;
b)
lim x ￫ -1; h(x) = 1/2;
6.-
a)
lim x ￫ 2; h(x) = ∞;
b)
lim x ￫ 0; h(x) = ∞;
7.- 2; 8.- 3; 9.- 1;10.- 9;
11.- √(6) ≈ 4.5; 12.- 9; 13.- (-1/4); 14.- 5; 15.- 1/4; 16.- 1/4; 17.- 2; 18.- 2;
31.-
x = 1;
32.-
x = 0;
33.-
x = 0;
34.-
x = 1;
35.-
No existe el limite. El limite cuando "t" tiende a 1 por la izquierda es 2, mientras que el limite cuando "t" tiende a 1 por la derecha es 1;
36.-
x = 2.
37.-
Discontinuidad no removible en todo numero entero, continua en (k, k + 1) para todos los enteros k.;
38.-
Discontinuidad no removible en todo numero entero, continua en (k, k + 1) para todos los enteros k.;
39.-
Discontinuidad removible en x = 1;
Continua en (-∞, 1) ⋃ (1, ∞).;
40.-
Discontinuidad removible en x = 2;
Continua en (-∞, 2) ⋃ (2, ∞).;
41.-
Discontinuidad no removible en x = 2;
Continua en (-∞, 2) ⋃ (2, ∞).;
42.-
Discontinuidad no removible en x = 1;
Continua en (2, ∞).;
43.-
Discontinuidad no removible en x = -1;
Continua en (-∞, -1) ⋃ (-1, ∞).;
44.-
Discontinuidad no removible en x = 1/2;
Continua en (-∞, 1/2) ⋃ (1/2, ∞).;
45.-
Discontinuidad no removible en todo numero entero par continua en (2k, 2k + 2) para todo entero k.;
46.-
Discontinuidad no removible en todo numero entero par continua en (2k, 2k + 2) para todo entero k.
51.-
a)
[(x^2 - 4) / (|x - 2|)] => [(x - 2) (x + 2) / (x - 2)] => x + 2 => 2 + 2 = -4;
b)
[(x^2 - 4) / (|x - 2|)] => [(x - 2) (x + 2) / (x - 2)] => x + 2 => 2 + 2 = 4;
a)
[(x^2 - 4) / (|x - 2|)] => [(x - 2) (x + 2) / (x - 2)] => x + 2 => 2 + 2 = -4;
b)
[(x^2 - 4) / (|x - 2|)] => [(x - 2) (x + 2) / (x - 2)] => x + 2 => 2 + 2 = 4;
c)
no existe el limite;
52.-
a) (-∞, -1] ⋃ [1, ∞);
b) 1;
c) -1;
53.-
x = 0;
54.-
x = 1/2;
55.-
x = 10;
56.-
x = lR.
57.- -∞; 58.- 3/2; 59.- 1/3; 60.- -∞; 61.- -∞; 62.- ∞; 63.- -∞; 64.- ∞; 65.- 4/5; 66.- -∞; 67.- ∞; 68.- -∞.
a) (-∞, -1] ⋃ [1, ∞);
b) 1;
c) -1;
53.-
x = 0;
54.-
x = 1/2;
55.-
x = 10;
56.-
x = lR.
57.- -∞; 58.- 3/2; 59.- 1/3; 60.- -∞; 61.- -∞; 62.- ∞; 63.- -∞; 64.- ∞; 65.- 4/5; 66.- -∞; 67.- ∞; 68.- -∞.
11.- 0; 12.- 0; 13.- -15; 14.- 3; 15.- 2/3; 16.- -1/2; 17.- 4x+1; 18.- -3∆x; 19.- 3x^(2) - 12; 20.- x^(3) + 3∆x + ∆x^(2); 21.- [-1 / (x - 1)^(2); 22.- 2x^(2) + ∆x; 23.- [1 / (2√(x + 1)]; 24.- -1.
71.- 4; 72.- 0; 73.- 4; 74.- 3; 75.- no es derivable en x = 0; 76.- no es derivable en x = 3; 77.- no es derivable en x = 6; 78.- no es derivable en x = -3; 79.- no es derivable en x = -5; 80.- no es derivable en x = 4.
91.-
La derivada por la izquierda es -1 y la derivada por la derecha es 1, entonces f no es derivable en x = 1;
92.-
La derivada por la izquierda es 0 y la derivada por la derecha es 1, entonces f(-1) = 0;
93.-
Ambas derivadas, por la derecha y por la izquierda, son 0, entonces f(1) = 0;
94.-
Ambas derivadas, por la derecha y por la izquierda, son 0, entonces f(1) = 0.
f (x) = x^(2) + 1 = 5, x ≤ 2;
f (x) = 4x - 3 = 5, x > 2;
96.-
f(x) = 1/2x + 1 = 2, x < 2;
f(x) = √(2x), x ≥ 2;
1.-
2.-
3.-
4.-
.
3.- 0; 4.- 0; 5.- 6x^(5); 6.- 8x^(7); 7.- [-7x^(8)]; 8.- [-8x^(9)]; 9.- 1/(5x^(4/5); 10.- 1/(4x^(3/4); 11.- 1; 12.- 3; 13.- -4t + 3; 14.- 2t + 2; 15.- 2x + 12x^(2); 16.- -3x^(2); 17.- 3t - 2; 18.- 6x2 -2; 19.- π/2 (cos θ + sen θ); 20.- -πsent; 21.- 2x -1/2*senx; 22.- cosx; 23.- -1/x^(2) + 3 cosx;
24.- 5/8x^(3) - 2senx.
25.-
y = 5/2x^2 => y = 5/(2x)^(-2) => y´ = 5/2 (-2x^(-3)) => y´ = -10/2x^3 => y´ = -5/x^3;
26.-
y = 2/3x^2 => y = 2/(3x^(-2)) => y´ = 2/-2 * (3x^(-3)) => y´ = -4/(3x^(3);
27.-
y = 3/(2x)^3 => y = 3/2 (x^(-3)) => y´ = 3/2 (-3 * (x^(-4)) => y´ = 3/2 (-3 * (x^(-4)) => y´ = -9/2x^4.
31.-
f(x) = y = 3/x^(2) => (1, 3) => y = 3 (x^(-2)) => y = 3 (-2x) => -6x => -6(1) = -6;
32.-
f(t) = y = 3 - (3/5t) => (3/5, 2) => 0 - (3/5 (3/5)) = 9/25;
33.-
f(x) = -1/2 + 7/5x^(3) => (0, -1/2) => 0 + 7/5 (x^(-3)) => 7/5 (-3x^(-4)) => -21/5x^(4) => -21/5(0)^(4) = 0;
34.-
y = 3x - 6 => (2, 18) => 3 * 2 = 6;
35.-
y = (2x + 1)^2 => (0, 1) => 2 (2x + 1) (2x + 1) => 2 * 2 (2x + 1) => 4 (2x + 1) => 4x + 4 =>
=> 4(0) + 4 = 4;
36.-
f(x) = 3 (5 - x)^2 => (5, 0) => 6 (5 - x) (5 - x) => 6*1 (5 - x) => 6 (5 - x) => 30 - 6x => 30 - 30 = 0;
37.-
f(θ) = 4senθ - θ => (0, 0) => 4cosθ - θ => 4cos0 - 1 => 4 * 1 - 1 = 3;
38.-
g(t) = 2 + 3 cost => (π, -1) => 0 - sen(π);
39.-
f(x) = x^(2) + 5 - 3x^(-2) => 2x + 0 - 6/x^(3) => 2x + 6/x^(3);
40.-
f(x) = x^(2) - 3x - 3x^(-2) => 2x + 6/x^(3);
41.-
g(t) = t^(2) - 4/t^(2) => 2t - 12/t^(4);
42.-
f(x) = x + 1/x^2 => 1 + 2/x^(3);
43.-
f(x) = [(x^(3) -3x^(2) + 4) / (x^2)] => [(x^3 - 8) / (x^3)];
44.-
h(x) = [(2x^(2) - 3x + 1) / (x)] => (2x^(2) - 1) / (x^2);
45.-
y = x (x^2 + 1) => 3x^2 + 1;
46.-
y = 3x (6x - 5x^(2)) => 36x - 45x^(2);
47.-
f(x) = √(x) - 6 (∛(x)) => [(1/2)/√(x) - (2) / (x^(2/3)];
48.-
f(x) = ∛(x) + (5)√(x) = 1/3x^(2/3) + 1/5x(4/5);
49.-
h(s) = s^(4/5) - s^(2/3) => 4/5 (5)√(s) - 2/3 (3)√(s);
50.-
f(t) = t^(2/3) - t^(1/3) + 4 => (2 ∛(t) - 1) / 3t^(2/3).
51.-
5*√(x) + 5cos(x) => 5/2√(x) - 5sin(x);
52.-
2/∛(x) + 3cosx => 2/3x^(4/3).
g(x) = (x^(2) + 1) (x^(2) - 2x) => 2x^(3) - 3x^(2) + x - 1;
2.-
f(x) = (6x + 5) (x^3 -2) => f(x) = 24x^(2) + 15x - 12;
3.-
h(t) = ∛(t) (t^(2) + 4) => (7t^(2) + 4) / (3t^(2/3);
4.-
g(s) = √(s) (4 - s^(2)) => [- 5s^(2) - 4 / 2√(s)];
5.-
f(x) = (x^(3) cosx) => 3 cosx - x senx;
6.-
√(x) senx => [(senx + 2x cosx) / 2√(x)].
7.-
f(x) = x/(x^(2) + 1) => [-(x^(2)) / (x^(2) + 1)^(2)];
8.-
g(t) = (t^(2) + 2) / (2t - 7) => [- (2) (t^(2) + 2) / (2t - 7)^(2);
9.-
h(x) = ∛(x) / (x^3+1) => (8x^(3) - 1) / (3x^(2/3)) (x^(3) + 1)^(2));
10.-
h(s) = x / (√(x) - 1) => (√(x) - 2) / 2 (√(x) - 1)^(2));
11.-
(sen(x)) / (x^(2)) => [ - (2 sin(x) - cos(x) / (x^(3)];
12.-
cos(t) / x^(3) => [- 3 cos (x) / x^(4)].
13.-
f(x) = (x^(3) - 3x) (2x^(2) + 3x + 5) => 10x^(4) + 12x^(3) - 13x^(2) - 18x - 15 =>
f(0) => 10 (0)^(4) + 12 (0)^(3) - 13 (0)^(2) - 18x (0) - 15 => f(0) = - 15;
14.-
f(x) = (x^(2) - 2x + 1) (x^(3) - 1) => 2x^(4) + x^(3) - 6x^(2) + x + 2 => f(x) = 0 => 2(0)^(4) + (0)^(3) - 6(0)^(2) + (0) + 2 => f(x) = 0;
15.-
f(x) = [(x^(2) - 4) / (x - 3)] => [(x^(2) - 6x - 4) / (x - 3)^(2)] => f(x) = 1 => [(1)^(2) - 6(1) - 4) / (1) - 3)^(2)] => f(x) = 1;
16.-
f(x) = [(x + 1) / (x - 1)] => [-2 / (2 - 1)^(2)] => f(x) = 2 => (-2 / 1) = -2;
17.-
f(x) = x cosx => cos (x) - x sen (x) => f(x) = (π/4) => cos (π/4) - (π/4) sen (π/4) = [√(2) / 8 (4 - π)];
18.-
f(x) = (sen x / x) => [(cos x / x) - (sen (x / x^(2))] => f(x) = (π/6) => [(cos (π/6) / (π/6)) - (sen ((π/6) / (π/6)^(2))] =>
19.-
y = [(x^(2) + 2x) / 3] => y = 1/3 (x^(2) + 2x) => y´ = 1/3 (2x + 2) => y´ = (2x + 2)/3;
20.-
y = [(5x^(2) - 3)/4] => y = 1/4 (5x^(2) - 3) => y´ = 1/4 (10x) => y´ = 10/4x;
21.-
y = (7 / 3x^(3)) => y = 7/3 (x^(-3) => y´ = 7/3 (-3x^(-4) => y´ = -7 (x^(-4)) => y´ = -7x^(4);
22.-
y = 4/5x^(2) => y = 4/5 (x^(-2)) => y = 4/5 (-2x^(-3)) => y´ = (-8/5) (x^(-3)) => y´ = (-8/5x^(-3));
23.-
y = [(4x^(3/2)/x] => y = 4 (3/2x) => y´ = 12/2x => y´ = 6x;
24.-
y = [(3x^(2) - 5)/7] => y = 3/7 (x^(2)) => y´ = 6/7x.
25.-
f(x) = [(3 - 2x - x^(2)) / (x^(2) - 1)] => [2/(x^(2) - 1)^(2)];
26.-
f(x) = [(x^(3) + 3x + 2) / (x^(2) - 1)] => [(x^(4) - 6x^(2) - 4x - 3) / (x^(2) - 1)];
27.-
f(x) = [x (1- 4/(x + 3))] => [(x^(2) + 6x - 3) / (x + 3)^(2)];
28.-
f(x) = [x^(4) (1- 2/(x + 1)] => [(2x^(3)) (2x^(2) + x - 2) / (x + 1)^(2)];
29.-
f(x) = [(2x + 5) / √(x)] => [(2x - 5) / 2x^(3/2)];
30.-
f(x) = (∛(x)) (√(x) + 3) => [(5x^(2/3) + 6 (raiz sexta de x)) / 6x^(5/6)];
31.-
h(s) = (s^(3) - 2)^(2) => 6s^(2) (s^(3) - 2);
32.-
h(s) = (x^(2) - 1)^(2)) => 4x (x^(2) - 1);
33.-
f(x) = [(2 - (1/x)) ÷ (x - 3)] => [1/(x - 3) * (x)^(2) - (2 - 1/x)/(x - 3)^(2)];
34.-
g(x) = x^(2) * (2/x) - (1/(x + 1)) => [(1/(x - 3) * x^(2)) - (2 - 1/x)/(x - 3)^(2);
35.-
f(x) = (3x^(3) + 4x) (x - 5) (x + 1) => 15x^(4) - 48x^(3) - 33x^(2) - 32x - 20;
36.-
f(x) = (x^(2) - x) (x^(2) + 1) (x^(2) + x + 1) => 6x^(5) + 4x^(3) - 3x^(2) - 1;
37.-
f(x) = [(x^(2) + c^(2)) / (x^(2) - c^(2))] => [- (4c^(2)x)/(x^(2) - c^(2))^(2);
38.-
f(x) = [(x^(2) + c^(2)) / (x^(2) - c^(2))] => [(4c^(2)x)/(x^(2) + c^(2))^(2).
1.-
y = (6x - 5)^(4) => u = 6x - 5 => y = u;
2.-
y = 1/√(x + 1) => u = x + 1 => y = 1/√(u);
3.-
y = √(x^(2) - 1) => u = (x^(2) + 1) => y = √(u);
4.-
y = 3 tan (πx^(2)) => u = 3 tan (πx) => y = (u)^(2);
5.-
y = csc^(3) * x => u = csc * x => y => u^(3);
6.-
y = cos 3x/2 => u = cos * 3x => y = 1/2;
7.-
y = (2x - 7)^(3) => 6 (2x - 7)^(2);
8.-
y = 3 (4 - x^(2))^(5) => -30x (x^(2) - 4)^(4);
9.-
g(x) = 3 (4 - 9x)^(4) => -108 (9x - 4)^(3);
10.-
f(t) = (9t + 2)^(2/3) => [6/(∛(9t + 2)];
11.-
f(t) = √(t - 1) => 1/2(√(t - 1));
12.-
g(x) = √(5 - 3x) => [-3/2√(5 - 3x)];
13.-
y = ∛(9x^(2) + 4) => [6x/(∛(9x^(2) + 4)^(2/3);
14.-
g(x) = √(x^(2) - 2x + 1) => [(x - 1)/(x^(2) - 2x + 1)];
15.-
y = (2∜(4 - x^(2)) => [- x/(∜(4 - x^(2))^(3)];
16.-
f(x) = [-3/∜(2 - 9x)] => [-12/(2 - 9x)];
17.-
y = [1/(x + 2)] => [-1/(x + 2)^(2)];
18.-
s(t) = [1/(t^(2) + 3t - 1)] => [- (2t + 3)/(t^(2) + 3t - 1)];
19.-
f(t) = [1/(t - 3)]^(2) => [-2/(t - 3)^(2)];
20.-
y = [-5/(t + 3)^(3)] => [15/(t + 3)^(4)];
21.-
y = [1/(√(x + 2)] => [- (1/(2 (x + 2)^(3/2))];
22.-
g(t) = √[t/t^(2) - 2)] => [- (1/2 √(1/t - 2t^(2)))];
23.-
f(x) = (x^(2)) (x - 2)^(4) => (2 (x - 2)^(3) * x * (3x - 2);
24.-
f(x) = x * (3x - 9)^(3) => [27 ((x - 3)^(2)) (4x - 3)];
25.-
y = [x * √(1 - x^(2))] = [- (2x^(2) - 1)/(√(1 - x^(2))];
26.-
y = [1/2x^(2) √(16 - x^(2))] => [- (x * (3x^(2) - 32)/2√(16 - x^(2))];
27.-
y = [ x / √(x^(2) + 1)] => [1/(x^(2) + 1)^(3/2)];
28.-
y = [ x / √(x^(4) + 1)] => [1/(x^(2) + 1)^(3/2)];
29.-
g(x) = [((x + 5)/(x^(2) + 2))^(2)] => [- (2 (x + 5) (x^(2) + 10x - 2)/(x^(2) + 2)^(3))];
30.-
h(t) = [(t^(2)/(t^(3) + 2))^(2)] => [- (2t^(3) (t^(3) - 4)/(t^(3) + 2)^(3))];
31.-
f(v) = [((1 - 2v)/(1 + v))^(3)] => [((1 - 2v)^(3)/(1 + v))^(3)] = 0;
32.-
g(x) = [((3x^(2) - 2)/(2x + 3))^(3)] => [(6 (3x^(2)^(2) (3^(2) + 9x + 2)/(2x + 3)^(4))^(4)].
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